Peluang (matematika)
TEORI PELUANG
PELUANG
Teori Peluang dikembangkan pada abad ke XVII oleh ahli matematika dari
Perancis yang bernama Pierre de Fermat dan Blaise Pascal. Awalnya teori
peluang dimulai dari permainan judi atau permainan yang bersifat
untung-untungan. Dalam teori peluang banyak dijumpai soal-soal yang
berkaitan dengan uang logam, dadu, kartu bridge dan lain-lain.
Adapun tujuan mempelajari teori peluang agar siswa dapat menjelaskan konsep-konsep dasar teori peluang supaya lebih mudah dipahami dan melatih kemampuan siswa dalam hal berolah pikir.
Adapun tujuan mempelajari teori peluang agar siswa dapat menjelaskan konsep-konsep dasar teori peluang supaya lebih mudah dipahami dan melatih kemampuan siswa dalam hal berolah pikir.
Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Ruang Sampel adalah seluruh kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaan. Ruang Sampel biasanya dilambangkan dengan huruf besar “ S “
Ruang Sampel adalah seluruh kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaan. Ruang Sampel biasanya dilambangkan dengan huruf besar “ S “
Contoh:
1. Pada percobaan melempar sebuah dadu, maka ruang sampelnya ditulis:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
2. Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam
S = { Angka, Gambar } atau S = { A, G }
S = { Muka , Belakang } atau S = { M, B }
Kejadian adalah bagian dari ruang sampel, biasanya untuk melambangkan suatu kejadian digunakan huruf besar.
1. Pada percobaan melempar sebuah dadu, maka ruang sampelnya ditulis:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
2. Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam
S = { Angka, Gambar } atau S = { A, G }
S = { Muka , Belakang } atau S = { M, B }
Kejadian adalah bagian dari ruang sampel, biasanya untuk melambangkan suatu kejadian digunakan huruf besar.
Contoh:
1. Pada percobaan melempar sebuah dadu.
a. Jika A adalah kejadian muncul mata dadu bilangan genap, maka:
A = { 2, 4, 6 }
b. Jika B adalah kejadian muncul mata dadu bilangan prima, maka:
B = { 2, 3, 5 }
c. Jika C adalah kejadian muncul mata dadu yang merupakan faktor dari 12, maka:
C = { 1, 2, 3, 4, 6 }
2. Pada percobaan melempar dua mata uang logam.
a. Jika P adalah kejadian kedua mata uang muncul Angka, maka:
P = { AA }
b. Jika Q adalah kejadian muncul 1 Angka dan 1 Gambar, maka:
Q = { AG, GA }
Peluang Suatu Kejadian
1. Pada percobaan melempar sebuah dadu.
a. Jika A adalah kejadian muncul mata dadu bilangan genap, maka:
A = { 2, 4, 6 }
b. Jika B adalah kejadian muncul mata dadu bilangan prima, maka:
B = { 2, 3, 5 }
c. Jika C adalah kejadian muncul mata dadu yang merupakan faktor dari 12, maka:
C = { 1, 2, 3, 4, 6 }
2. Pada percobaan melempar dua mata uang logam.
a. Jika P adalah kejadian kedua mata uang muncul Angka, maka:
P = { AA }
b. Jika Q adalah kejadian muncul 1 Angka dan 1 Gambar, maka:
Q = { AG, GA }
Peluang Suatu Kejadian
Menghitung Peluang dengan menggunakan Pendekatan Frekuensi Nisbi atau Frekuensi Relatif
Contoh:
1. Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 15 kali, kemudian pada setiap lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul angka sebanyak 7 kali, maka frekuensi relatif muncul angka = 7/15
2. Jika sebuah uang logam dilempar sebanyak 50 kali, kemudian pada
setiap lemparan hasilnya dicatat dan diperoleh frekuensi muncul gambar
sebanyak 28 kali, maka frekuensi relatif muncul gambar = 28/50
Jadi, peluang suatu kejadian secara frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan dalam waktu tertentu.
Jadi, peluang suatu kejadian secara frekuensi relatif adalah perbandingan banyaknya kejadian yang muncul dengan banyaknya percobaan yang dilakukan dalam waktu tertentu.
Menghitung Peluang Secara Klasik
Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam, maka peluang muncul gambar = 1/2
Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut:
Ruang Sampel pada percobaan melempar sebuah uang logam adalah S = { A, G }
banyaknya anggota S atau n (S) = 2, sedangkan kejadian muncul gambar sebanyak 1 atau n (G) = 1, sehingga peluang kejadian muncul gambar pada percobaan melempar sebuah mata uang logam:
Ruang Sampel pada percobaan melempar sebuah uang logam adalah S = { A, G }
banyaknya anggota S atau n (S) = 2, sedangkan kejadian muncul gambar sebanyak 1 atau n (G) = 1, sehingga peluang kejadian muncul gambar pada percobaan melempar sebuah mata uang logam:
p = n (G) / n (S)
Jadi, p = 1/2
Menghitung Peluang dengan Definisi Aksioma Peluang
Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan ini disebut peluang.
a. Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai peluang nol
b. Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu
c. Peluang dari kejadian A bernilai antara 0 dan 1
d. Jika A dan B dua kejadian sehingga A B = , maka
P ( A B ) = P ( A ) + P ( B )
e. Jika A dan B dua kejadian sehingga A B , maka
P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )
Kejadian Majemuk
Sifat 1 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A B = ,
maka : P ( A B ) = P ( A ) + P ( B )
Sifat 2 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A B ,
maka : P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )
Jadi, p = 1/2
Menghitung Peluang dengan Definisi Aksioma Peluang
Setiap kejadian di ruang sampel dikaitkan dengan bilangan antara 0 dan 1, bilangan ini disebut peluang.
a. Kejadian yang tak mungkin terjadi mempunyai peluang nol
b. Kejadian yang pasti terjadi mempunyai peluang satu
c. Peluang dari kejadian A bernilai antara 0 dan 1
d. Jika A dan B dua kejadian sehingga A B = , maka
P ( A B ) = P ( A ) + P ( B )
e. Jika A dan B dua kejadian sehingga A B , maka
P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )
Kejadian Majemuk
Sifat 1 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A B = ,
maka : P ( A B ) = P ( A ) + P ( B )
Sifat 2 : Misalkan A dan B dua kejadian pada ruang sampel dengan A B ,
maka : P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A B )
Peluang Komplemen suatu Kejadian
Sifat : Misalkan A kejadian pada ruang sampel, maka P ( A’ ) = 1 - P ( A )
Sifat : Misalkan A kejadian pada ruang sampel, maka P ( A’ ) = 1 - P ( A )
Kejadian Saling Bebas
Definisi: Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan saling bebas jika
P(A B) = P(A) . P(B)
Definisi: Dua kejadian A dan B pada ruang sampel dikatakan saling bebas jika
P(A B) = P(A) . P(B)
PELUANG
- Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi
- Kaidah Pencacahan
Apabila peristiwa pertama dapat terjadi dalam p cara berbeda, peristiwa kedua q cara berbeda, peristiwa ketiga r cara berbeda, dan seterusnya, maka banyaknya cara yang berbeda terhadap rangkaian berurutan seperti itu adalah = p x q r x .. - Faktorial
Perkalian n bilangan asli pertama disebut n faktorial, dinotasikan dengan n!
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x …. x (n – 1) x n
atau n! = n x (n – 1) x (n – 2) x ….. x 4 x 3 x 2 x 1 - Permutasi
Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan diperhatikan disebut permutasi r unsur dari n unsur(r ≤ n) yang dinotasikan dengan nPr atau P(n,r) atau
atau Pn,r - Banyaknya permutasi n unsur berbeda disusun n unsur(seluruhnya) adalah : P = n!
- Banyaknya Permutasi yang dapat disusun dari n anggota suatu himpunan diambil r unsur anggota pada satu saat adalah :
- Banyaknya permutasi jika ada beberapa elemen/unsur yang sama adalah :
- Banyaknya permutasi siklis adalah permutasi yang disusun secara
melingkar dengan memperhatikan urutannya(arah putarannya) adalah :
P = (n – 1)! - Kombinasi
Cara menempatkan n buah unsur ke dalam r tempat yang tersedia dengan urutan tidak diperhatikan
disebut Kombinasi r unsur dari n unsur(r ≤ n) yang dinotasikan dengan nCr atau C(n,r) atau
atau Cn,r
Kombinasi n unsur berbeda disusun r unsur dirumuskan :
- Binomial Newton
- Kaidah Pencacahan
- Peluang Suatu Kejadian
- Dalam suatu percobaan :
- Semua hasil yang mungkin disebut ruang sampel
- Setiap anggota dalam ruang sampel disebut titik sampel
- Hasil yang diharapkan disebut kejadian
- Definisi Peluang
Peluang kejadian A dinotasikan dengan P(A) adalah perbandingan banyaknya hasil kejadian A dinotasikan n(A)
terhadap banyaknya semua hasil yang mungkin dinotasikan dengan n(S) dalam suatu percobaan.
Kisaran nilai peluang suatu kejadian A adalah 0 ≤ P(A) ≤ 1.
Jika P(A) = 0 disebut kemustahilan dan P(A) = 1 disebut kepastian - Frekuensi Harapan
Frekuensi Harapan kejadian A adalah banyaknya kejadian A yang diharapkan dalam beberapa kali percobaan
Jika percobaan dilakukan sebanyak n kali maka frekuensi harapan kejadian A dirumuskan : Fh(A) = n x P(A) - Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Jika Ac kejadian selain A, maka P(A)c = 1 – P(A) atau
P(A)c + P(A) = 1
P(A)c = peluang komplemen kejadian A atau peluang kejadian selain kejadian A - Kejadian Majemuk
- Untuk sembarang kejadian A atau B berlaku :
- Peluang dua Kejadian saling lepas(asing)
Jika
maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian saling lepas artinya bila terjadi A tidak mungkin terjadi B.
Besarnya peluang dua kejadian saling lepas(asing) adalah :
- Peluang dua kejadian saling bebas
Bila kejadian A tidak mempengaruhi terjadinya B dan sebaliknya, maka kejadian semacam ini disebut dua kejadian saling bebas
Peluang dua kejadian saling bebas dirumuskan :
- Peluang dua kejadian tak bebas(bersyarat/bergantungan)
Apabila kejadian kedua(B) adalah kejadian setelah terjadinya kejadian pertama A, dinotasikan (B/A),
maka dua kejadian tersebut merupakan dua kejadian tak bebas(bersyarat)
Peluang dua kejadian tak bebas dirumuskan :
Soal dan Pembahasan Peluang kelas XI
1. Bila A; {2,3,4,5} dan B: {p,q,r,st}, maka banyak unsur dari A X B adalah...
=> nA: 4
nB: 5
A X B = 4 X 5 = 20 unsur
2. Banyak susunan huruf yang mungkin dibentuk dari kata "SUKINO" apabila huruf pertama dimulai dengan huruf vokal adalah...
=> huruf vokal yang terdapat : 3 huruf
S U K I N O
3 5 4 3 2 1
3 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 240 cara
3. Banyak bilangan puluhan yang dapat disusun dari angka 4,5 dan 8 apabila ada angka yang berulang dalam tiap bilangan adalah....
=> Puluhan : 3 huruf (4,5,8)
satuan : 3 huruf (4,5,8)
Puluhan X Satuan = 3 x 3 = 9
4. Kota A dan B dengan cara 3 jalan, kota B dan C dengan 2 jalan, sedangkan kota C dan D dengan 4 jalan. Banyaknya rute kota A ke D adalah...
=> A -> D = A-> B X B->C X C->D
3 . 2 . 4
24 rute
5. Banyaknya yang dapat disusun oleh 0,1,2,3,4,5,6,7 yang terdiri atas 4 angka adalah...
7 x 8 x 8 x 8 = 3584 angkaRibuanRatusanPuluhanSatuan7888
6. Banyak bilangan puluhan yang dapat disusun dari 4,5,8 apabila tidak ada angka yang berulang dalam tiap bilangan adalah....
=>
puluhan x satuan = 3 x 2 = 6PuluhanSatuan32
7. Diberikan setumpukan angka 0,1,2,3,4,5. Banyak plat nomor polisi kendaraan yang dapat dibuat atas 3 angka dan boleh ada angka yang berulang adalah...=>
Ratusan x puluhan x satuan = 6 x 6 x 6 = 216 plat nomorRatusanPuluhanSatuan6668. Dari angka 3,5,6,7 dibuat bilangan yang terdiri dari atas 3 angka berbeda. Diantara bilangan itu yang <400 ada sebanyak...=>
Ratusan x puluhan x satuan = 1 x 3 x 2 = 6RatusanPuluhanSatuan132
9. Dari angka 1,2,3,4,5 akan dibuat bilangan <400 dan tidak ada yang berulang. Banyak bilangan tersebut adalah...=>
Ratusan x puluhan x satuan = 3 x 4 x 3 = 36RatusanPuluhanSatuan34310. Dari kota A ke kota B ada 4 bus, B ke C ada 3 bus, seseorang berangkat dari A ke C melalui B kemudian kembali ke A melalui B. saat kembal dari A ke B. ia tidak mau menggunakan bus yang sama,maka banyak cara yang dilakukan orang itu adalah....=> A -> C = 4 X 3 = 12C -> A = 3 X 2 = 6Pulang pergi A -> C adalah 12 x 6 = 7211. Delapan orang memperebutkan juara I,II,III,dan harapan. Banyak posisi juara yang dapat terjadi adalah...=> 8 x 7 x 6 x 5 = 1680 posisiselasa, 17 desember 2013
laily masruroh
